Всесиб 2024, 10 класс, задача 1

( баллов) Найти все решения в действительных числах системы уравнений:

Ответ

Ответ. , .

Решение. Умножим оба уравнения на , получим , . Вычтем второе уравнение из первого: . Отсюда либо , либо . В первом случае . Во втором случае .

Только угаданы все ответы

Решение с нахождением только второй пары решений

Решение с нахождением только первой пары решений

Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2023, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Тройка действительных чисел A, B, C такова, что sin A+sin B+sin C=0 и cos A+cos B+cos C=0. Найти значение выражения cos(A-B)+cos(B-C)+cos(C-A).

Очень сложная

Алгебра

Уравнения

Всесиб 2022, 10 класс, задача 5

(7 баллов) Какие натуральные числа n можно представить в виде n=[a,b]+[a,c]+[b,c] для некоторых натуральных a, b, c? Здесь [x,y] обозначает наименьшее общее кратное натуральных чисел x и y.

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел

Всесиб 2025, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Доказать, что для всех положительных действительных чисел a и b выполнено неравенство: (a(a+1)/b+1) +(b(b+1)/a+1) ge a+b.

Очень сложная

Алгебра

Неравенства

Всесиб 2025, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Найти все тройки натуральных чисел a, b, c таких, что числа ab+1, ac+1, bc+1 являются факториалами некоторых натуральных чисел. Числа в тройках могут совпадать. Напоминаем, что факториалом n! натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел