Всесиб 2021, 11 класс, задача 3
( баллов) Найти все действительные числа , для которых существуют три различных действительных числа , , таких, что .
Ответ. .
Решение. Предположим, что удовлетворяет условию задачи. Из первого равенства выразим и подставим в третье: . Последнее выражение подставим во второе равенство:
,
откуда получаем соотношение , являющееся квадратным уравнением относительно , если . Ввиду симметричности соотношений в условии, тому же уравнению удовлетворяют и оставшиеся переменные и . Всё это вместе даёт три различных корня квадратного уравнения , что невозможно. Следовательно, , .
Если , то для любого значения положим , , тогда - соотношения условия выполнены. Требование различности при этом равносильно тому, что не является корнем квадратного уравнения . Последнее уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант равен - отрицателен, следовательно, для любого полученная тройка различных чисел удовлетворяет условию задачи.
Доказано, что может равняться только или
Доказано, что для существуют три различных числа , ,