Всесиб 2021, 9 класс, задача 1
(7 баллов) Доказать, что в любом 100-значном натуральном числе можно вычеркнуть одну цифру так, чтобы в получившемся 99-значном числе количество семёрок, стоящих на чётных (считая слева), позициях, было не больше количества семёрок, стоящих на нечётных, (считая слева), позициях.Всесиб 2021, 9 класс, задача 2
(7 баллов) В каждой клетке таблицы 3 на 3 записано некоторое целое число так, что все восемь сумм троек чисел, записанных в клетках каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей, равны одному числу S (то есть таблица является магическим квадратом 3 на 3). Доказать, что S делится на 3.Всесиб 2021, 9 класс, задача 3
(7 баллов) Пусть P - основание высоты, опущенной из вершины A прямоугольного треугольника ABC на его гипотенузу BC, а M - середина отрезка CP. Обозначим за E точку на продолжении стороны AB за точку B такую, что AB=BE. Доказать, что прямые EP и AM перпендикулярны.Всесиб 2021, 9 класс, задача 4
(7 баллов) Определим последовательность x1,x2,x3,ldots,x100 следующим образом: пусть x1 - произвольное положительное число, меньшее 1, и xn+1=xn-xn2 для всех n=1,2,3,ldots,99. Докажите, что x1Всесиб 2021, 9 класс, задача 5
(7 баллов) На шахматной доске 8 на 8 некоторым образом расставлены 8 ладей, ни одна из которых не бьёт другую. Доказать, что каждую из них можно сдвинуть одновременно в одну из соседних с ней по диагонали клеток таким образом, что и после сдвига ни одна из них не будет бить другую. Напомним, что шах
