(7 баллов) На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD соответственно отмечены точки P, Q, R, S, отличные от вершин. Известно, что длина стороны квадрата равна 1, доказать, что выполнены неравенства: 2le PQ2+QR2+RS2+SP2<4.
Очень сложная
Неравенства
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2021, 11 класс, задача 2
(7 баллов) Найти все натуральные n, которые можно представить в виде суммы n=a2+b2, где a - минимальный делитель n, отличный от 1, и b - какой-то делитель n.
Очень сложная
Теория чисел
Всесиб 2021, 11 класс, задача 3
(7 баллов) Найти все действительные числа a, для которых существуют три различных действительных числа x, y, z таких, что a=x+frac1y=y+frac1z=z+frac1x.
Очень сложная
Алгебра
Уравнения
Всесиб 2021, 11 класс, задача 4
(7 баллов) Доказать, что четыре перпендикуляра, опущенных из середин сторон произвольного вписанного четырёхугольника на его противоположные стороны, пересекаются в одной точке.
Очень сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2021, 11 класс, задача 5
(7 баллов) В некоторых клетках прямоугольной доски размера 101 на 99 сидят по одной черепашке. Каждую минуту каждая из них одновременно переползает в одну из клеток доски, соседнюю с той, в которой они находятся, по стороне. При этом, каждый следующий ход делается ими в направлении, перпендикулярном
(7 баллов) Докажите, что для любого xne0 выполнено неравенство: x8-x5-frac1x+frac1{x4}ge0.
Очень сложная
Алгебра
Неравенства
Всесиб 2021, 10 класс, задача 2
(7 баллов) Разрезать правильный пятиугольник на несколько треугольников так, чтобы каждый из них граничил ровно с тремя другими. Граничить - значит иметь общий отрезок совместной границы.
Очень сложная
Геометрия
Планиметрия
Комбинаторика
Всесиб 2021, 10 класс, задача 3
(7 баллов) Найти все натуральные n, для которых на клетчатой доске размера n на n клеток можно отметить n клеток, стоящих в разных горизонталях и разных вертикалях, которые можно последовательно обойти ходом шахматного коня, начиная с некоторой, не вставая на одну клетку дважды, и вернуться на исход
Очень сложная
Комбинаторика
Всесиб 2021, 10 класс, задача 4
(7 баллов) Пусть m
Очень сложная
Теория чисел
Всесиб 2021, 10 класс, задача 5
(7 баллов) На отрезке AB отмечена произвольная точка M, отличная от A и B. С одной стороны от прямой AB выбрана точка C, а с другой - точки D и E такие, что треугольники ABC, AMD и MBE являются равносторонними. Обозначим через P, Q, R точки пересечения медиан треугольников ABC, AMD и MBE соответстве
(7 баллов) Доказать, что в любом 100-значном натуральном числе можно вычеркнуть одну цифру так, чтобы в получившемся 99-значном числе количество семёрок, стоящих на чётных (считая слева), позициях, было не больше количества семёрок, стоящих на нечётных, (считая слева), позициях.
Сложная
Комбинаторика
Всесиб 2021, 9 класс, задача 2
(7 баллов) В каждой клетке таблицы 3 на 3 записано некоторое целое число так, что все восемь сумм троек чисел, записанных в клетках каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей, равны одному числу S (то есть таблица является магическим квадратом 3 на 3). Доказать, что S делится на 3.
Сложная
Алгебра
Теория чисел
Всесиб 2021, 9 класс, задача 3
(7 баллов) Пусть P - основание высоты, опущенной из вершины A прямоугольного треугольника ABC на его гипотенузу BC, а M - середина отрезка CP. Обозначим за E точку на продолжении стороны AB за точку B такую, что AB=BE. Доказать, что прямые EP и AM перпендикулярны.
Сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2021, 9 класс, задача 4
(7 баллов) Определим последовательность x1,x2,x3,ldots,x100 следующим образом: пусть x1 - произвольное положительное число, меньшее 1, и xn+1=xn-xn2 для всех n=1,2,3,ldots,99. Докажите, что x1
Сложная
Алгебра
Неравенства
Всесиб 2021, 9 класс, задача 5
(7 баллов) На шахматной доске 8 на 8 некоторым образом расставлены 8 ладей, ни одна из которых не бьёт другую. Доказать, что каждую из них можно сдвинуть одновременно в одну из соседних с ней по диагонали клеток таким образом, что и после сдвига ни одна из них не будет бить другую. Напомним, что шах
