Всесиб 2021, 10 класс, задача 5
( баллов) На отрезке отмечена произвольная точка , отличная от и . С одной стороны от прямой выбрана точка , а с другой - точки и такие, что треугольники , и являются равносторонними. Обозначим через , , точки пересечения медиан треугольников , и соответственно. Доказать, что: а) треугольник - равносторонний, б) точка пересечения медиан треугольника лежит на отрезке .
Решение. а) Обозначим за точку пересечения прямых и . Четырёхугольник является ромбом с углами и при вершинах и , треугольники и - равносторонние. Заметим, что , , и , поэтому . Следовательно, , и треугольники и равны по углам и парам прилегающих к ним сторон.
Кроме того, угол между соответственными сторонами и тоже равен , значит треугольник получается из треугольника поворотом относительно вершины на по часовой стрелке. Следовательно, стороны и треугольника равны и угол между ними составляет , значит оставшиеся два угла также равны , треугольник - равносторонний.
б) Заметим, что углы и равны , поэтому точка лежит на описанной окружности треугольника . Следовательно, описанные окружности треугольников и совпадают. Обозначим точку пересечения медиан треугольника за , она является и центром описанной окружности этого треугольника, совпадающей с описанной окружностью треугольника . Значит, точка лежит на серединном перпендикуляре к хорде данной окружности, что и требовалось доказать.
Пункт а)
Пункт б)