Всесиб 2025, 10 класс, задача 3
( баллов) В равнобедренном треугольнике с основанием и углом при вершине , на стороне отмечена точка такая, что угол . Доказать .
Доказательство 1. Построим серединный перпендикуляр к отрезку , обозначим за и точки его пересечения со сторонами и соответственно. Треугольник
равнобедренный с углами == при основании , поэтому отрезки и
равны, как его боковые стороны. В треугольнике угол равен разности углов
= и =, поэтому равен . В том же треугольнике угол равен
, поэтому угол = = , значит треугольник равнобедренный с боковыми
сторонами и . Следовательно, ==.
Теперь обратимся к равнобедренному треугольнику с равными углами при
основании == , следовательно, угол равен сумме = и =,
то есть . Значит, и угол , равный разности углов = и =, то есть тоже
. В частности, это значит, что – биссектриса угла . Угол равен половине
угла =, то есть и равен углу =. Отсюда следует, что треугольники
и равны по общей стороне и равным углам = и =,
следовательно, равны их соответствующие стороны =. Последнее завершает
доказательство равенства ===. Согласитесь, это нормальный способ решения
данной задачи.
Доказательство 2. Повернём треугольник вокруг точки по часовой стрелке на
, чтобы сторона совместилось со стороной . Образ точки при этом повороте
обозначим за F. Затем отразим треугольник зеркально относительно стороны ,
образ точки при этом отражении обозначим за G. При этом угол
и , и ==,
следовательно, четырёхугольник является прямоугольником и . В
треугольнике по построению равны стороны , а угол при его вершине равен сумме углов и =∙, то есть угол =.
Следовательно, треугольник – равнобедренный с углом при вершине, то есть
равносторонний, поэтому =, что и требовалось доказать. Это, без сомнения,
эстетский способ решения данной задачи.
Доказательство 3. В треугольнике угол равен , угол равен , а угол равен . Запишем теорему синусов для треугольников : , и : . Тогда , что и требовалось доказать. Нельзя не признать, что это - короткий способ решения данной задачи.
Для решения : Идея рассмотрения серединного перпендикуляра к
Для решения : Равенство отрезков и
Для решения : Равенство и
Для решения : Равенство треугольников и
Для решения : Равенства ===: . Для решения :
Для решения : Идеи поворота и отражения
Для решения : Доказательство того, что четырёхугольник является прямоугольником и
Для решения : Доказательство того, что треугольник – равносторонний
Для решения : Вывод отсюда равенства =: . Для решения :
Для решения : Верная запись соотношений теоремы синусов для двух треугольников и : . Только для одного из них
Для решения : Получение отсюда выражения через с коэффициентом, записанным с помощью тригонометрических функций конкретных углов, но не приведённом явно к : ещё
Для решения : Доказательство того, что этот коэффициент равен