Всесиб 2021, 11 класс, задача 4
( баллов) Доказать, что четыре перпендикуляра, опущенных из середин сторон произвольного вписанного четырёхугольника на его противоположные стороны, пересекаются в одной точке.
Доказательство.
Обозначим вершины произвольного вписанного в окружность четырёхугольника за , , и , центр окружности за , середины сторон , , и за , , и соответственно. Отрезки и являются серединными перпендикулярами к сторонам и , поэтому они параллельны перпендикулярам и , опущенным на эти стороны из середин противоположных сторон четырёхугольника.
Обозначим точку пересечения этих перпендикуляров за , из параллельности отрезков и , а также и следует, что четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, его диагонали и пересекаются в точке , делящей их пополам. Диагональ при этом является средней линией четырёхугольника , поэтому точка пересечения перпендикуляров и , опущенных из середин сторон и на противоположные стороны четырёхугольника, симметрична центру описанной окружности относительно середины отрезка , соединяющего середины сторон и .
Аналогично доказывается, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из середин сторон и на противоположные стороны четырёхугольника, симметрична центру описанной окружности относительно середины отрезка , соединяющего середины сторон и .
Хорошо известно, что четырёхугольник , образованный серединами сторон произвольного четырёхугольника , образуют параллелограмм, стороны которого параллельны диагоналям и и равны их половинам. Следовательно, отрезки и , являющиеся диагоналями параллелограмма , делятся точкой их пересечения пополам, поэтому их середины совпадают. Значит, совпадают и точки и , симметричные центру относительно этих середин. Таким образом, все четыре перпендикуляра, опущенных из середин сторон вписанного четырёхугольника , пересекаются в точке , симметричной центру описанной окружности относительно точки пересечения средних линий и этого четырёхугольника.
Известный факт о параллелограмме достаточно чётко сформулировать, но не доказывать