Всесиб 2023, 10 класс, задача 4
( баллов) Внутри остроугольного треугольника выбрана точка такая, что углы и равны. Пусть - середина стороны , а точки и - основания перпендикуляров, опущенных из на стороны и соответственно. Докажите, что длины отрезков и равны.
Доказательство. Обозначим за и середины отрезков и соответственно, и докажем равенство треугольников и с соответственными сторонами и . Действительно, отрезки и являются средними линиями в треугольнике , параллельными сторонам и соответственно, поэтому их длины равны половинам длин и . Отрезки и являются медианами, проведёнными к гипотенузе в прямоугольных треугольниках и соответственно, поэтому их длины равны половинам длин и . Таким образом, в треугольниках и равны пары смежных сторон , и , .
Докажем равенство углов и . Они состоят из углов и , и соответственно. Углы и равны, как противоположные углы параллелограмма . Углы и , как углы между гипотенузами и медианами к ним в подобных прямоугольных треугольниках и , равны удвоенным углам и , равным по условию. Следовательно, равны углы и , а с ними и треугольники и . Значит, равны их соответствующие стороны и , что и требовалось доказать.
Есть идея рассмотрения середин отрезков и
Высказана идея равенства треугольников и
Доказаны равенства длин соответствующих сторон этих треугольников
Доказано равенство углов и
За найденные вписанные четырехугольники ( шт.) и продвижение по задаче далее