Всесиб 2023, 11 класс, задача 1
( баллов) В треугольнике биссектрисы углов и пересекают стороны и в точках и соответственно. Известно, что длина стороны равна сумме длин отрезков и . Найдите величину угла .
Ответ. .
Решение 1. Обозначим величины углов треугольника соответствующими им буквами , и , а точку пересечения биссектрис за . Отразим точки и относительно биссектрис и соответственно, их образами будут точки и на стороне такие, что , . Ввиду равенства точки и совпадают, обозначим эту точку за . Величины углов , . Их сумма равна , откуда . Значит, величина угла равна .
Решение 2. Обозначим длины сторон , , треугольника за , , соответственно и найдём длины всех используемых в задаче отрезков, используя свойство биссектрисы. Тогда , , откуда . Сократим обе части на , умножим на знаменатель, приведём подобные, получим: . По теореме косинусов , откуда и .
В первом решении: присутствует идея отражения точек и относительно биссектрис и
В первом решении: показано, что образы при таком отражении дадут общую точку на стороне
Во втором решении: найдены и
Во втором решении: получено равенство
Отсюда получен
Рассмотрен частный случай при определенном расположении радиусов