Всесиб 2022, 10 класс, задача 3
( баллов) Треугольник равнобедренный, с равными сторонами и . На дуге его описанной окружности, не содержащей вершину , отметим произвольную точку , отличную от и . Обозначим за точку пересечения прямых и . Доказать, что прямая касается описанной окружности треугольника .
Доказательство. Утверждение задачи равносильно тому, что угол , опирающийся в описанной окружности одноимённого треугольника на хорду , равен углу между хордой и прямой - предполагаемой касательной к этой окружности. Угол является смежным со вписанным углом описанной окружности исходного треугольника . Во вписанном в эту окружность четырёхугольнике углы и являются противоположными, поэтому их сумма равна . Следовательно, угол равен углу , а тот, в силу равнобедренности треугольника , равен углу , вертикальному с углом между хордой и прямой . Значит, последний угол равен углу , что и требовалось доказать.