(7 баллов) Десятичная запись натурального числа N содержит каждую цифру от 0 до 9 ровно один раз. Обозначим через A сумму пяти двузначных чисел, составленных из первой и второй, третьей и четвёртой,..., девятой и десятой цифр N, а через B - сумму четырёх двузначных чисел, составленных из второй и тр
Очень сложная
Теория чисел
Всесиб 2022, 11 класс, задача 2
(7 баллов) Найти все решения в действительных числах системы уравнений x(1+yz)=9, y(1+xz)=12, z(1+xy)=10.
Очень сложная
Алгебра
Уравнения
Всесиб 2022, 11 класс, задача 3
(7 баллов) Перестановка чисел 1,2,3,ldots,n в некотором порядке называется забавной, если в ней каждое число, начиная со второго слева, либо больше всех чисел, стоящих левее него, либо меньше всех чисел, стоящих левее него. Например, перестановка 3,2,1,4,5,6 является забавной, а перестановка 3,1,2,4
Очень сложная
Комбинаторика
Всесиб 2022, 11 класс, задача 4
(7 баллов) Пусть H - точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC, точка M - середина стороны AC. На стороне AB выбрана точка K такая, что прямая BH делит отрезок CK пополам. Доказать, что отрезки MH и CK перпендикулярны.
Очень сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2022, 11 класс, задача 5
(7 баллов) Доказать, что для любых действительных чисел x, y, z из интервала [0,1] выполнено неравенство (x+y/2+z) +(x+z/2+y) +(y+z/2+x) le2.
(7 баллов) На шахматной доске 8 на 8 отмечены две произвольные клетки. Верно ли, что доску всегда можно разрезать по линиям сетки на две одинаковых части, каждая из которых содержит по одной отмеченной клетке?
Очень сложная
Комбинаторика
Всесиб 2022, 10 класс, задача 2
(7 баллов) Найти необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять натуральные числа x, y, z такие, что можно записать по кругу в некотором порядке xge1 раз букву A, yge1 раз букву B и zge1 раз букву C так, чтобы никакие две одинаковые буквы не были написаны рядом (не были соседними).
Очень сложная
Комбинаторика
Всесиб 2022, 10 класс, задача 3
(7 баллов) Треугольник ABC равнобедренный, с равными сторонами AC и BC. На дуге BC его описанной окружности, не содержащей вершину A, отметим произвольную точку D, отличную от B и C. Обозначим за E точку пересечения прямых CD и AB. Доказать, что прямая BC касается описанной окружности треугольника B
Очень сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2022, 10 класс, задача 4
(7 баллов) Пусть для действительных чисел x, y, z выполнено неравенство: x+y+zge xyz. Доказать, что для них выполнено и неравенство x2+y2+z2ge xyz.
Очень сложная
Алгебра
Неравенства
Всесиб 2022, 10 класс, задача 5
(7 баллов) Какие натуральные числа n можно представить в виде n=[a,b]+[a,c]+[b,c] для некоторых натуральных a, b, c? Здесь [x,y] обозначает наименьшее общее кратное натуральных чисел x и y.
(7 баллов) Назовём четырёхзначное число abcd любопытным, если сумма двузначных чисел ab и cd равна двузначному числу bc. Например, число 1978 любопытное, так как 19+78=97. Найти количество любопытных чисел.
Сложная
Алгебра
Теория чисел
Всесиб 2022, 9 класс, задача 2
(7 баллов) Даны натуральные числа a, b, c. Доказать, что, как минимум одно из трёх чисел a2+b+c, b2+a+c, c2+a+b не является точными квадратом, то есть квадратом натурального числа.
Сложная
Алгебра
Теория чисел
Всесиб 2022, 9 класс, задача 3
(7 баллов) Рассматриваются всевозможные разбиения шахматной доски 8 на 8 на домино из двух соседних по стороне клеток. Определить максимальное натуральное n такое, что для любого разбиения доски 8 на 8 на домино можно найти некоторый прямоугольник, составленный из n клеток доски, не содержащий ни од
Сложная
Комбинаторика
Всесиб 2022, 9 класс, задача 4
(7 баллов) В треугольнике ABC с большей стороной BC биссектрисы пересекаются в точке I. Прямые AI, BI, CI пересекают стороны BC, CA, AB в точках D, E, F соответственно. На отрезках BD и CD выбраны точки G и H соответственно такие, что угол GID равен углу ABC, а угол HID - углу ACB. Докажите, что угл
Сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2022, 9 класс, задача 5
(7 баллов) На окружности отмечены n>1 точек, называемых позициями, делящих её на равные дуги. Позиции занумерованы по часовой стрелке числами от 0 до n-1. Вася ставит в одну из них фишку. Далее неограниченное количество раз повторяются следующие действия, называемые ходами: Петя называет некоторое н
