Всесиб 2022, 9 класс, задача 4
( баллов) В треугольнике с большей стороной биссектрисы пересекаются в точке . Прямые , , пересекают стороны , , в точках , , соответственно. На отрезках и выбраны точки и соответственно такие, что угол равен углу , а угол - углу . Докажите, что углы и равны.
Доказательство. Обозначим величины углов треугольника буквами , , соответственно.
) Найдём величины углов и . В четырёхугольнике углы при вершинах , , равны , , , поэтому величина угла равна , а величина равна . Аналогично, в четырёхугольнике углы при вершинах , , равны , , , поэтому величина угла равна , а величина равна . Следовательно, треугольник равнобедренный с углом при основании.
) Треугольники и равны по общей стороне и прилежащим к ней углам и . Следовательно, равны соответствующие стороны и углы и .
) Треугольники и равны по двум сторонам , и углам и между ними. Следовательно, равны соответствующие углы и . Тогда величина угла равна сумме углов и , то есть . Аналогично, равны треугольники и и одноименные углы, поэтому величина угла равна сумме углов и , то есть тоже . Следовательно, углы и равны между собой, что и требовалось доказать.
Доказано, что величины углов и равны
Доказано равенство треугольников и , и
Доказано равенство треугольников и , и
Доказано на основании предыдущего, что равны углы и