Всесиб 2024, 9 класс, задача 3
( баллов) В остроугольном треугольнике обозначим за основание перпендикуляра, опущенного из вершины на биссектрису угла . Доказать, что площадь треугольника равна половине площади треугольника .
Доказательство 1. Обозначим точку пересечения прямой со стороной за . В треугольнике отрезок является биссектрисой и высотой, поэтому он равнобедренный с равными сторонами и , а точка - середина стороны . Следовательно, площадь треугольника равна половине площади , а площадь треугольника равна половине площади треугольника . Вместе площадь треугольника равна половине площади треугольника .
Доказательство 2. Проведём через точку прямую параллельно стороне , пересекающую сторону в точке . Углы и равны как накрест лежащие и равны половине угла . Следовательно, треугольник равнобедренный, а по теореме Фалеса - середина стороны . Площади треугольников и , имеющих общую сторону и равные высоты к ней, равны; значит, площадь равна половине площади .
Доказательство 3. Обозначим величину угла за . Тогда , что и требовалось доказать.
Равнобедренность треугольника
Равенство площади треугольника половине площади
Равенство площади треугольника половине площади
Равенство площади и площади , равной половине площади
Равнобедренность треугольника
М – середина стороны ВС
Равенство площадей треугольников АРВ и
Равенство площади и половины площади , равной площади