(7 баллов) Какое максимальное количество простых чисел можно записать, использовав каждую из десяти цифр от 0 до 9 ровно по одному разу?
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика
Всесиб 2024, 11 класс, задача 2
(7 баллов) Найти все множества X, состоящие из различных натуральных чисел от 1 до 50, такие, что: 1) X содержит не все числа от 1 до 50, но не меньше трёх из них, 2) X содержит числа 1 и 50, 3) для любых трёх чисел x
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика
Всесиб 2024, 11 класс, задача 3
(7 баллов) Пусть длины сторон треугольника являются натуральными числами a,b,c, и одна из его высот равна сумме двух других. Доказать, что число a2+b2+c2 является точным квадратом (натурального числа).
Очень сложная
Теория чисел
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2024, 11 класс, задача 4
(7 баллов) Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC и продолжение стороны DC за точку C в точках K и M соответственно (как показано на рисунке). Доказать, что центр описанной окружности треугольника KCM лежит на описанной окружности треугольника BCD. Рисунок к задаче 11.4
Очень сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2024, 11 класс, задача 5
(7 баллов) У вредного Васи есть клетчатая полоска длины 13 клеток и лента длины Nge13 клеток. Вася хочет разрезать свою полоску на несколько кусочков, каждый из которых имеет длину из нескольких целых клеток по своему усмотрению, а затем уложить часть из них на ленту в некотором порядке так, чтобы в
(7 баллов) Найти все решения в действительных числах системы уравнений:
Очень сложная
Алгебра
Уравнения
Всесиб 2024, 10 класс, задача 2
(7 баллов) У Васи есть набор из девяти единичных кубиков, у каждого из которых на всех шести гранях записаны в некотором порядке буквы М, А, Т, Е, И, К, по одной на каждой грани. Порядок букв на разных кубиках может отличаться. Кубики можно прикладывать друг к другу гранями, если на них написаны оди
Очень сложная
Комбинаторика
Всесиб 2024, 10 класс, задача 3
(7 баллов) Пусть A=underbrace{44ldots44}2n - натуральное число, записанное 2n четвёрками, и B=underbrace{88ldots88}n - натуральное число, записанное n восьмёрками. Доказать, что A-B является точным квадратом натурального числа.
Очень сложная
Алгебра
Теория чисел
Всесиб 2024, 10 класс, задача 4
(7 баллов) Из шести пар братьев нужно составить три команды по 4 человека так, чтобы ни в одной команде не было никаких двух братьев. Сколькими различными способами это можно сделать? Спортсмены из разных пар не являются братьями.
Очень сложная
Комбинаторика
Всесиб 2024, 10 класс, задача 5
(7 баллов) В параллелограмме ABCD выбрана точка P такая, что угол ABP вдвое больше угла ADP, а угол DCP вдвое больше угла DAP. Доказать, что отрезки AB, BP и CP имеют равную длину. Рисунок к задаче 10.5
(7 баллов) Пусть x1,x2 - корни квадратного многочлена f(x) со старшим коэффициентом 1, а y1,y2 - корни квадратного многочлена g(x) со старшим коэффициентом 1. Доказать, что g(x1)g(x2)=f(y1)f(y2).
Сложная
Алгебра
Уравнения
Всесиб 2024, 9 класс, задача 2
(7 баллов) Девять точек соединены 12 отрезками, как показано на рисунке. Каждая точка окрашивается в один из двух цветов. Какое максимальное количество отрезков с концами разного цвета может получиться? Рисунок к задаче 9.2
Сложная
Комбинаторика
Всесиб 2024, 9 класс, задача 3
(7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC обозначим за P основание перпендикуляра, опущенного из вершины C на биссектрису BH угла ABC. Доказать, что площадь треугольника ABP равна половине площади треугольника ABC. Рисунок к задаче 9.3
Сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2024, 9 класс, задача 4
(7 баллов) Пусть A=underbrace{88ldots88}100 - натуральное число, записанное 100 восьмёрками, и B=underbrace{55ldots55}100 - натуральное число, записанное 100 пятёрками. Найти сумму цифр числа N=9 · A · B.
Сложная
Алгебра
Теория чисел
Всесиб 2024, 9 класс, задача 5
(7 баллов) Авиакомпания, в которой служат 13 пилотов, эксплуатирует 9 самолётов попарно различных типов. Каждый день для рейсов случайно выбирают 9 из 13 пилотов. Пилот может быть обучен пилотировать самолёты нескольких типов. Обучение одного пилота пилотированию самолёта одного типа стоит 1 миллион
