Всесиб 2024, 11 класс, задача 2
( баллов) Найти все множества , состоящие из различных натуральных чисел от до , такие, что: 1) содержит не все числа от до , но не меньше трёх из них, 2) содержит числа и , 3) для любых трёх чисел из число также принадлежит .
Ответ
Ответ. .
Решение. Обозначим числа множества за . Для любой тройки последовательных чисел число также принадлежит , откуда следует, что соседние разности равны. Значит, является арифметической прогрессией с первым членом и последним членом . Её разность делит , поэтому . Разность дала бы все числа от до , что запрещено; разность дала бы только два числа, а их должно быть не меньше трёх. Следовательно, , и .