Всесиб 2026, 10 класс, задача 2
( баллов) Сумма некоторого составного натурального числа и его максимального делителя, отличного от и самого числа, равна для некоторого простого числа и . Найти все возможные значения .
Ответ
Ответ. .
Решение. Обозначим за исходное натуральное число из условия, тогда для его максимального собственного делителя имеем , где - минимальный простой делитель числа . Из условия следует равенство . Число делит , поэтому является некоторой степенью и делится на , следовательно - простой делитель . Из минимальности получаем . Если , то должно быть степенью , что невозможно, поэтому . В таком случае число может быть степенью только при , поэтому одно из простых чисел и чётно, а другое - нечётно. Следовательно, и . Примером является , , тогда .