Всесиб 2024, 10 класс, задача 2
( баллов) У Васи есть набор из девяти единичных кубиков, у каждого из которых на всех шести гранях записаны в некотором порядке буквы , , , , , , по одной на каждой грани. Порядок букв на разных кубиках может отличаться. Кубики можно прикладывать друг к другу гранями, если на них написаны одинаковые буквы. Сможет ли Вася хоть для какого-то набора кубиков сложить из них параллелепипед высоты и ширины и длины так, чтобы на каждой его грани длины были записаны буквы , , , , , , , , в некотором порядке?
Ответ. Нет, не сможет.
Решение. В слове буквы , , встречаются ровно по два раза, а буквы , , - по одному. Всего на кубиках , , встретятся по раз каждая. Если нужный Васе параллелепипед будет-таки сложен, то на четырёх его гранях длины каждая из этих букв встретится по раза, и ещё чётное количество раз - на прикладываемых друг к другу гранях, то есть всего чётное количество раз. Следовательно, каждая из букв , , должна встретиться хотя бы раз на торцевых гранях параллелепипеда размера на . Но торцевых грани всего две, а букв , , - три, противоречие. Следовательно, искомый в условии параллелепипед сложить нельзя ни для какого набора из кубиков.
Замечено, что на всех не торцевых гранях параллелепипеда и прикладываемых клетках используется чётное число букв , ,
Сделан вывод о том, что каждая из них должна встретиться хотя бы раз на торцевых гранях параллелепипеда размера на
Замечено, что торцевых грани всего две, а букв , , - три, и получено противоречие