Всесиб 2024, 10 класс, задача 3

Очень сложная
Алгебра
Теория чисел
Источник:
Всесибирская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2024, 10 класс

( баллов) Пусть - натуральное число, записанное четвёрками, и - натуральное число, записанное восьмёрками. Доказать, что является точным квадратом натурального числа.

Доказательство. Рассмотрим малые значения : при получаем , при получаем . Для произвольного докажем, что . Действительно, . Далее , поэтому =.

1

Переход

2
2

Переход

1
3

Переход

2
4

Переход

2
Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2023, 10 класс, задача 1

(7 баллов) Найдите все пары натуральных чисел xge2, yge2 такие, что остаток от деления числа 3x на y равен 1, остаток от деления числа 3y на x равен 1 и остаток от деления числа xy на 3 тоже равен 1.
Очень сложная
Теория чисел

Всесиб 2022, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Найти все решения в действительных числах системы уравнений x(1+yz)=9, y(1+xz)=12, z(1+xy)=10.
Очень сложная
Алгебра
Уравнения

Всесиб 2024, 11 класс, задача 1

(7 баллов) Какое максимальное количество простых чисел можно записать, использовав каждую из десяти цифр от 0 до 9 ровно по одному разу?
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика

Всесиб 2021, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Найти все натуральные n, которые можно представить в виде суммы n=a2+b2, где a - минимальный делитель n, отличный от 1, и b - какой-то делитель n.
Очень сложная
Теория чисел