Очень сложная
Алгебра
Теория чисел
Источник:
Всесибирская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2024, 10 класс

Всесиб 2024, 10 класс, задача 3

( баллов) Пусть - натуральное число, записанное четвёрками, и - натуральное число, записанное восьмёрками. Доказать, что является точным квадратом натурального числа.

Фото или PDF, до 20 МБ на файл, до 10 файлов. Ответ проверят вручную.
Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Доказательство. Рассмотрим малые значения : при получаем , при получаем . Для произвольного докажем, что . Действительно, . Далее , поэтому =.

1

Переход

2
2

Переход

1
3

Переход

2
4

Переход

2
Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2026, 10 класс, задача 5

(7 баллов) Найти все тройки действительных чисел (a,b,c), удовлетворяющих системе уравнений a(b2+c)=c(c+ab), b(c2+a)=a(a+bc), c(a2+b)=b(b+ca).
Очень сложная
Алгебра
Уравнения

Всесиб 2023, 10 класс, задача 1

(7 баллов) Найдите все пары натуральных чисел xge2, yge2 такие, что остаток от деления числа 3x на y равен 1, остаток от деления числа 3y на x равен 1 и остаток от деления числа xy на 3 тоже равен 1.
Очень сложная
Теория чисел

Всесиб 2022, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Найти все решения в действительных числах системы уравнений x(1+yz)=9, y(1+xz)=12, z(1+xy)=10.
Очень сложная
Алгебра
Уравнения

Всесиб 2024, 11 класс, задача 1

(7 баллов) Какое максимальное количество простых чисел можно записать, использовав каждую из десяти цифр от 0 до 9 ровно по одному разу?
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика