Всесиб 2022, 11 класс, задача 2

Ответ. , , .

Решение. Вычтем первое уравнение из второго и третьего, получим: , . Подставим выражения , в первое уравнение, получим , что после раскрытия скобок приводит к кубическому уравнению . Одним из его корней является , разлагаем левую часть на множители: . Дискриминант второй скобки отрицателен, поэтому единственным действительным корнем уравнения и решением исходной системы является . Тогда , .

Замечание. После нахождения действительного корня его единственность можно доказать и другим способом, исследовав функцию . Её производная имеет корни , , она больше нуля левее первого и правее второго из них и отрицательна между ними. Следовательно, функция возрастает на промежутках и убывает на промежутке . Значит, точка является точкой её локального максимума, а точка - точкой локального минимума. При этом её значения в этих точках , отрицательны, следовательно, уравнение может иметь корень только на промежутке , на котором функция строго монотонно возрастает. Значит, решений уравнения не может быть больше одного, уже найденного нами .