Всесиб 2023, 11 класс, задача 3

Ответ. Три решения: , .

Решение. 1. Найдём легко угадываемые решения системы, когда значения всех переменных равны между собой, то есть когда . Тогда , откуда или . Это и приводит к трём указанным в ответе решениям , . Докажем, что других решений нет.

2. В любом решении все переменные одного знака, они либо неотрицательны, либо не положительны. Это следует их того, что нечётная степень числа имеет тот же знак, что и само число. Действительно, среди переменных две имеют одинаковый знак, тогда правая часть уравнения, содержащего эти переменные, имеет тот же знак, значит и левая часть, а с ней и третья переменная имеют тот же знак. Кроме того, если одна из переменных равна , то левая часть соответствующего уравнения равна , значит сумма двух чисел одного знака в правой части тоже равна , поэтому каждое из этих чисел равно . Следовательно, дальше можно считать, что все переменные не равны . При умножении решения системы на снова получаем решение, следовательно, дальше можно считать, что .

3. Рассмотрим поведение функции при . Используя разложение , мы видим, что значение функции равно при и , положительно при и отрицательно при . Отсюда следует, что все переменные не могут быть одновременно больше или одновременно меньше . В противном случае, сложив все три уравнения, получим . В левой части стоит сумма трёх чисел одного знака, поэтому они все должны равняться , откуда следует, что при этом . Итак, остались два случая, и .

4. Если , тогда - это не решение. Если , то - это тоже не решение. Таким образом доказано, что других решений, кроме уже найденных, нет.