Всесиб 2026, 11 класс, задача 4

Ответ. .

Решение. Обозначим числа множества за . Докажем, что в условиях задачи разность любых двух соседних чисел делится на все натуральные числа от до . Рассмотрим произвольные соседние числа , , и натуральное число из интервала от до , докажем, что разность делится на . Рассмотрим два -элементных подмножества и множества , различающихся ровно одним элементом, первое из них содержит , но не содержит , а второе содержит , но не содержит . Для этого можно взять в качестве любые изо всех чисел множества, кроме , и , а в качестве - те же чисел и . Разность сумм чисел в и как раз равна и делится на . Делимость на каждое из чисел равносильна делимости на их наименьшее общее кратное, равное . Для дальнейшего отметим, что полученное число делится и на . Следовательно, каждая разность делится на , поэтому не меньше для всех . Значит . Соответствующий пример множества выглядит так - это арифметическая прогрессия , . Сумма любых из этих чисел равна плюс число, делящееся на , поэтому делится на .