(7 баллов) В треугольнике ABC биссектрисы углов BAC и BCA пересекают стороны BC и AB в точках K и P соответственно. Известно, что длина стороны AC равна сумме длин отрезков AP и CK. Найдите величину угла ABC.
Очень сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2023, 11 класс, задача 2
(7 баллов) Тройка действительных чисел A, B, C такова, что sin A+sin B+sin C=0 и cos A+cos B+cos C=0. Найти значение выражения cos(A-B)+cos(B-C)+cos(C-A).
Очень сложная
Алгебра
Уравнения
Всесиб 2023, 11 класс, задача 3
(7 баллов) Найти все решения системы уравнений в действительных числах:
Очень сложная
Алгебра
Уравнения
Всесиб 2023, 11 класс, задача 4
(7 баллов) В возрастающей арифметической прогрессии из n натуральных чисел каждый член, кроме последнего, делится на свой номер в прогрессии, а последний - нет. Докажите, что n является степенью некоторого простого числа.
Очень сложная
Теория чисел
Всесиб 2023, 11 класс, задача 5
(7 баллов) На одной стороне каждой из 100 карточек написали одно из натуральных чисел от 1 до 100 включительно (каждое число записано ровно на одной карточке), после чего перевернули их обратными сторонами вверх и разложили в произвольном порядке на столе. За один вопрос Вася может указать на две лю
(7 баллов) Найдите все пары натуральных чисел xge2, yge2 такие, что остаток от деления числа 3x на y равен 1, остаток от деления числа 3y на x равен 1 и остаток от деления числа xy на 3 тоже равен 1.
Очень сложная
Теория чисел
Всесиб 2023, 10 класс, задача 2
(7 баллов) Вася и Петя играют в «Бери или дели». В этой игре сначала есть одна большая куча камней. Каждым ходом очередной игрок либо делит одну из уже имеющихся к моменту его хода куч любым способом на две меньших, либо забирает одну из уже имеющихся куч. Выигрывает игрок, после хода которого камне
Очень сложная
Комбинаторика
Всесиб 2023, 10 класс, задача 3
(7 баллов) Докажите, что для любых действительных чисел x, y из интервала [0,π/2], произведение которых не больше 1, выполняется неравенство sin xyge sin x · sin y.
Очень сложная
Алгебра
Неравенства
Всесиб 2023, 10 класс, задача 4
(7 баллов) Внутри остроугольного треугольника ABC выбрана точка P такая, что углы PAC и PBC равны. Пусть M - середина стороны AB, а точки K и L - основания перпендикуляров, опущенных из P на стороны AC и BC соответственно. Докажите, что длины отрезков MK и ML равны.
Очень сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2023, 10 класс, задача 5
(7 баллов) Какое максимальное количество подмножеств из 4 элементов можно выбрать во множестве из 8 элементов так, чтобы пересечение любых трёх из выбранных подмножеств содержало не более одного элемента?
(7 баллов) Конечное множество различных действительных чисел X назовём хорошим, если каждое число из X можно представить в виде суммы двух других различных чисел из X. Какое минимальное количество чисел может содержать хорошее множество X?
Сложная
Алгебра
Комбинаторика
Всесиб 2023, 9 класс, задача 2
(7 баллов) Два простых числа называются последовательными, если не существует простого числа, которое больше одного из них, и меньшего другого. Докажите, что сумму любых двух последовательных простых нечётных чисел всегда можно представить в виде произведения трёх натуральных сомножителей, каждый из
Сложная
Теория чисел
Всесиб 2023, 9 класс, задача 3
(7 баллов) Два равносторонних треугольника ABC и CDE расположены на плоскости так, что их единственной общей точкой является вершина C. Пусть точки F, G и H являются серединами отрезков BC, CD и AE соответственно. Докажите, что треугольник FGH тоже является равносторонним. Длины сторон треугольников
Сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2023, 9 класс, задача 4
(7 баллов) В какое максимальное число цветов можно окрасить все клетки квадрата 4 на 4 так, чтобы любой квадрат размера 2 на 2 клетки обязательно содержал хотя бы две клетки одинакового цвета?
Сложная
Комбинаторика
Всесиб 2023, 9 класс, задача 5
(7 баллов) В компании из n>1 человек некоторые её члены знакомы друг с другом, а некоторые - нет. При этом, если X знаком с Y, то и Y знаком с X, сам человек не считается своим знакомым или незнакомым. Найти все n, при которых в компании всегда найдутся два человека A и Б, обладающих в этой компании
