Всесиб 2023, 9 класс, задача 1
(7 баллов) Конечное множество различных действительных чисел X назовём хорошим, если каждое число из X можно представить в виде суммы двух других различных чисел из X. Какое минимальное количество чисел может содержать хорошее множество X?Всесиб 2023, 9 класс, задача 2
(7 баллов) Два простых числа называются последовательными, если не существует простого числа, которое больше одного из них, и меньшего другого. Докажите, что сумму любых двух последовательных простых нечётных чисел всегда можно представить в виде произведения трёх натуральных сомножителей, каждый изВсесиб 2023, 9 класс, задача 3
(7 баллов) Два равносторонних треугольника ABC и CDE расположены на плоскости так, что их единственной общей точкой является вершина C. Пусть точки F, G и H являются серединами отрезков BC, CD и AE соответственно. Докажите, что треугольник FGH тоже является равносторонним. Длины сторон треугольниковВсесиб 2023, 9 класс, задача 4
(7 баллов) В какое максимальное число цветов можно окрасить все клетки квадрата 4 на 4 так, чтобы любой квадрат размера 2 на 2 клетки обязательно содержал хотя бы две клетки одинакового цвета?Всесиб 2023, 9 класс, задача 5
(7 баллов) В компании из n>1 человек некоторые её члены знакомы друг с другом, а некоторые - нет. При этом, если X знаком с Y, то и Y знаком с X, сам человек не считается своим знакомым или незнакомым. Найти все n, при которых в компании всегда найдутся два человека A и Б, обладающих в этой компании
