Всесиб 2023, 10 класс, задача 3
( баллов) Докажите, что для любых действительных чисел , из интервала , произведение которых не больше , выполняется неравенство .
Ответ
Доказательство. Ввиду того, что по условию , одно из этих чисел не больше , будем считать . Функция на интервале возрастает и выпукла вверх, поэтому любая точка её графика расположена выше отрезка, соединяющего точки с координатами и . В таком случае, точка лежит ниже точки , следовательно, . Кроме того, на интервале выполнено неравенство , поэтому , что и требовалось доказать.