Всесиб 2025, 10 класс, задача 2
( баллов) Найти все тройки действительных чисел , , , удовлетворяющих системе уравнений:
Ответ. , , и , , .
Решение. Возведём в квадрат левые части первого и второго уравнений и сложим их, получим , откуда .
) . Тогда из первого уравнения , подставим это в третье уравнение, получим , откуда . В этом случае получаем два кандидата в решения: , , и , , . Первая тройка второму уравнению удовлетворяет, а при подстановке второй во второе уравнение, получим в левой части , и это постороннее решение.
) . Тогда из первого уравнения , подставим это в третье уравнение, получим , откуда . В этом случае получаем два кандидата в решения: , , и , , . Вторая тройка второму уравнению удовлетворяет, но, при подстановке первой во второе уравнение, получим в левой части , и это постороннее решение.
Замечание. Вместо возни с квадратным уравнением проще подставить выражение в два первых уравнения, получить систему из двух линейных уравнений и найти соответствующие , .
Угаданы верные ответы: по за каждый
Получение
Рассмотрение каждого из случаев и : по за каждый
Приобретение посторонних решений: снимаем по за каждое