Всесиб 2023, 9 класс, задача 2
( баллов) Два простых числа называются последовательными, если не существует простого числа, которое больше одного из них, и меньшего другого. Докажите, что сумму любых двух последовательных простых нечётных чисел всегда можно представить в виде произведения трёх натуральных сомножителей, каждый из которых больше единицы.
Ответ
Доказательство. Сумма двух последовательных нечётных простых чисел и является чётным числом, поэтому в качестве первого сомножителя можно взять двойку. Если число , большее единицы, не является простым, то, разложив его на два неединичных множителя, получим требуемое в условии представление в виде произведения трёх натуральных сомножителей, каждый из которых больше единицы. Если же число является простым, то , поэтому оно будет простым числом, лежащим между последовательными и , что противоречит условию задачи.