Всесиб 2022, 9 класс, задача 1
( баллов) Назовём четырёхзначное число любопытным, если сумма двузначных чисел и равна двузначному числу . Например, число любопытное, так как . Найти количество любопытных чисел.
Ответ. .
Решение. Составим уравнение: , откуда . Разность делится на , значит, и сумма делится на , что равносильно делимости на суммы . Сумма двух различных чисел из интервала от до не меньше и не больше , поэтому последнее возможно только при . Подставим это в предыдущее уравнение, получим , следовательно четвёрка может быть записана в виде , где , - любая пара цифр, удовлетворяющих соотношениям , . При каждом фиксированном значение может быть любым от до , всего вариантов. Следовательно, общее количество любопытных чисел равно сумме .
Доказано, что делится на
Доказано, что отсюда следует
Записан вид четвёрки цифр как
Найдено количество любопытных четвёрок