Всесиб 2025, 9 класс, задача 1
( баллов) Ненулевые действительные числа , , таковы, что . Найти все возможные значения выражения .
Ответ
Ответ. и .
Решение 1. Добавим к каждой из трёх дробей в условии по единице, получим равенства
. Если числитель каждой дроби не равен , то, сократив на него, получим равенства , откуда . Выражение при этом равно и достигается для любой тройки , скажем, для . Если , то все дроби в условии равны , и выражение , равное произведению этих дробей, при этом равно . Оно достигается, например, при , , .
Решение 2. Избавляемся от знаменателей в первом равенстве, получим , что равносильно . Аналогично, второе равенство эквивалентно . Следовательно, если , то и . А если , то .