Всесиб 2026, 9 класс, задача 4
( баллов) Найдите все пары простых чисел такие, что .
Ответ
Ответ. , .
Решение. Перепишем уравнение в виде: . Очевидно, что и различны, а, значит, взаимно просты, следовательно делит , откуда для некоторого натурального числа . Подставим это выражение в уравнение, получим квадратное уравнение относительно . Из него находим - целое число, в таком случае дискриминант уравнения должен быть точным квадратом. Ближайший к точному квадрату меньший точный квадрат равен , поэтому должно выполняться неравенство , то есть . Отсюда , то есть . В случае дискриминант меньше , а вот случай даёт и . Эта пара и является единственным решением уравнения.