Всесиб 2023, 11 класс, задача 4
( баллов) В возрастающей арифметической прогрессии из натуральных чисел каждый член, кроме последнего, делится на свой номер в прогрессии, а последний - нет. Докажите, что является степенью некоторого простого числа.
Ответ
Доказательство. Обозначим члены арифметической прогрессии за , а её разность - за . Предположим противное, что не является степенью простого числа, тогда делится хотя бы на два различных простых числа. В таком случае, можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел и , меньших , где - максимальная степень первого из этих простых чисел, делящая , а - делится на второе из этих простых чисел и тоже больше . По условию, делится на , следовательно, делится на . Аналогично, делится на , следовательно, делится на . Из взаимной простоты и следует, что делится на произведение , значит и делится на , что противоречит условию.