Всесиб 2024, 11 класс, задача 1

Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика
Источник:
Всесибирская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2024, 11 класс

( баллов) Какое максимальное количество простых чисел можно записать, использовав каждую из десяти цифр от до ровно по одному разу?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. Шесть.

Решение. Докажем, что количество простых чисел не превосходит . Одно из простых чисел должно содержать цифру , которая не может быть первой или последней, поэтому оно не менее чем трёхзначно. Однозначных простых чисел не больше четырёх: . Обозначим их количество за . Остальных простых чисел, не содержащих , будет не больше , а всего чисел не больше , то есть не больше . Пример шести простых чисел: .

1

Доказано, что количество простых чисел не превосходит

4
2

Любой правильный пример шести простых чисел

3
3

Замечено, что одно из простых чисел не менее, чем трёхзначно

1
Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2021, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Найти все натуральные n, которые можно представить в виде суммы n=a2+b2, где a - минимальный делитель n, отличный от 1, и b - какой-то делитель n.
Очень сложная
Теория чисел

Всесиб 2025, 10 класс, задача 5

(7 баллов) По кругу в некотором порядке выписаны все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Пара не соседних чисел a и b называется хорошей, если все числа, выписанные по одну из сторон от хорды, соединяющей a и b, меньше a и b. Какое количество хороших пар чисел может содержаться среди выписан
Очень сложная
Комбинаторика

Всесиб 2023, 11 класс, задача 5

(7 баллов) На одной стороне каждой из 100 карточек написали одно из натуральных чисел от 1 до 100 включительно (каждое число записано ровно на одной карточке), после чего перевернули их обратными сторонами вверх и разложили в произвольном порядке на столе. За один вопрос Вася может указать на две лю
Очень сложная
Комбинаторика

Всесиб 2024, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Из шести пар братьев нужно составить три команды по 4 человека так, чтобы ни в одной команде не было никаких двух братьев. Сколькими различными способами это можно сделать? Спортсмены из разных пар не являются братьями.
Очень сложная
Комбинаторика