Всесиб 2024, 10 класс, задача 5
( баллов) В параллелограмме выбрана точка такая, что угол вдвое больше угла , а угол вдвое больше угла . Доказать, что отрезки , и имеют равную длину.
Доказательство. Обозначим величины углов и за и соответственно. Проведём из точки отрезок , параллельный стороне и равный ей так, чтобы образовались два параллелограмма и .
Рассмотрим описанную окружность треугольника с центром . Угол величины является в ней вписанным, а величина угла равна и совпадает с величиной центрального угла этой окружности, соответствующего дуге . Следовательно, точка принадлежит описанной окружности треугольника . Аналогично, точка принадлежит описанной окружности треугольника , следовательно, является пересечением этих окружностей и совпадает с . Тогда длины отрезков , и совпадают с длиной радиусов , и описанной окружности треугольника и равны между собой, что и требовалось доказать.
Построение точки
Рассмотрение описанной окружности треугольника
Доказано, что точка принадлежит описанной окружности треугольника
Доказано, что является пересечением описанных окружностей и и совпадает с
Замечено, что длины отрезков , и совпадают с длиной радиусов , и описанной окружности треугольника и равны между собой