Всесиб 2026, 10 класс, задача 4
( баллов) В остроугольном треугольнике обозначим за центр вписанной в него окружности, а за - точку пересечения прямой, зеркально симметричной прямой относительно биссектрисы и прямой, зеркально симметричной прямой относительно биссектрисы . Докажите, что перпендикулярна стороне .
Доказательство. 1. Обозначим за длины сторон , и соответственно, а за - точку касания вписанной окружности треугольника со стороной . Хорошо известно, что , .
-
Рассмотрим образ треугольника при зеркальном отражении относительно биссектрисы , обозначим за образ его вершины . Точка лежит на прямой на расстоянии от вершины . После зеркального отражения прямой относительно биссектрисы её образ проходит через точку под углом к стороне . При этом , поэтому точка лежит между точками и . Следовательно, .
-
Аналогично, после зеркального отражения прямой относительно биссектрисы её образ проходит через точку - образ вершины - на расстоянии от вершины под углом к стороне . При этом , поэтому точка лежит между точками и . Следовательно, .
-
Таким образом, мы доказали, что , а углы , поэтому треугольник - равнобедренный с серединой основания . Тогда прямая является медианой и высотой из вершины и перпендикулярна основанию . Радиус вписанной окружности треугольника тоже проходит через и перпендикулярен , поэтому точка лежит на прямой . Следовательно, прямая совпадает с перпендикуляром к стороне в точке , что и требовалось доказать.
Чёткая и верная формулировка без доказательства того, что ,
То же с доказательством
Доказательство того, что точка лежит между точками и и между точками и
Доказательство равнобедренности треугольника с серединой основания
Вывод отсюда того, что прямая совпадает с перпендикуляром к стороне в точке