Всесиб 2021, 11 класс, задача 1

Очень сложная

Источник:

Всесибирская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2021, 11 класс

( баллов) На сторонах , , и квадрата соответственно отмечены точки , , , , отличные от вершин. Известно, что длина стороны квадрата равна , доказать, что выполнены неравенства: .

Доказательство. Для длин четырёх отрезков из неравенства запишем четыре теоремы Пифагора: , , , . Сложим эти равенства и перегруппируем результат в виде:

Каждое из выражений в скобках имеет вид для некоторого и заключено в интервале от (включая) до (исключая). Следовательно, сумма заключена в интервале от (включая) до (исключая), что и требовалось доказать.

Похожие задачи

Всесиб 2023, 11 класс, задача 1

(7 баллов) В треугольнике ABC биссектрисы углов BAC и BCA пересекают стороны BC и AB в точках K и P соответственно. Известно, что длина стороны AC равна сумме длин отрезков AP и CK. Найдите величину угла ABC.

Очень сложная

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2024, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC и продолжение стороны DC за точку C в точках K и M соответственно (как показано на рисунке). Доказать, что центр описанной окружности треугольника KCM лежит на описанной окружности треугольника BCD. Рисунок к задаче 11.4

Очень сложная

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2025, 11 класс, задача 3

(7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC с углом 60^circ при вершине B, обозначим за O центр описанной окружности, за H - точку пересечения высот. Прямая OH пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Доказать, что треугольник KBM - равносторонний.

Очень сложная

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2021, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Доказать, что четыре перпендикуляра, опущенных из середин сторон произвольного вписанного четырёхугольника на его противоположные стороны, пересекаются в одной точке.

Очень сложная

Геометрия

Планиметрия