Всесиб 2025, 11 класс, задача 3

Доказательство 1. Для удобства изложения будем считать угол при вершине
меньшим углом треугольника, то есть величина угла не превосходит , тогда точка расположена левее точки , то есть перпендикуляр из неё на сторону попадает между
вершиной и основанием высоты треугольника из вершины .
. Заметим, что величина угла равна -(+)=-(-)-(-
)=+=-=. Угол является центральным в
описанной окружности треугольника , поэтому он вдвое больше соответствующего
ему вписанного угла =, значит, его величина равна , то есть величине угла .
Следовательно, четырёхугольник является вписанным.
. В окружности () вписанные углы и , опирающиеся на общую дугу
, равны, поэтому ==-. Теперь в треугольнике угол равен
--=--=+-. В равнобедренном треугольнике
угол при его вершине равен удвоенному углу , поэтому угол при его основании
равен - . Следовательно, угол равен +-=+-(- )
=+=-=. Поэтому в треугольнике угол равен
-=. Учитывая, что, по условию угол = этого треугольника
уже равен , он является равносторонним, что требовалось доказать.
Доказательство 2. В равнобедренном треугольнике угол является
центральным в описанной окружности треугольника , поэтому он вдвое больше
соответствующего ему вписанного угла =, значит, его величина равна . Тогда
угол при его основании равен , следовательно, расстояние от до стороны
равно половине радиуса описанной окружности (). Хорошо известно, что это
расстояние в произвольном треугольнике равно половине длины отрезка ,
следовательно, длина равна радиусу описанной окружности (), поэтому
треугольник – равнобедренный и его биссектриса из вершины является его высотой.
В равнобедренном треугольнике угол при его вершине равен удвоенному углу
, поэтому угол при его основании равен - . С другой стороны, в
прямоугольном треугольнике, образованном высотой из В и стороной , угол тоже
равен - . Следовательно, в треугольнике его высота из В является и
биссектрисой его угла . Таким образом, треугольник – равнобедренный с углом
при вершине, то есть равносторонний, что требовалось доказать.