Всесиб 2025, 10 класс, задача 1
( баллов) Отрезок точками и разбит на три отрезка , и , из которых можно составить треугольник. Найти все точки , лежащие внутри отрезка для произвольного такого разбиения.
Ответ. Середина отрезка .
Решение. В силу неравенства треугольника +>, поэтому + больше
половины длины , следовательно точка всегда лежит правее середины отрезка .
Аналогично, +>, поэтому + больше половины длины , следовательно
точка всегда лежит левее середины отрезка . Значит, середина отрезка всегда
лежит строго между точками и , то есть принадлежит внутренности отрезка для
любого разбиения точками и из условия.
Докажем, что больше таких точек нет. Рассмотрим произвольную внутреннюю точку
отрезка , отличную от его середины , не умаляя общности считаем, что лежит между и . Обозначим за середину отрезка , а за – точку, симметричную относительно . Тогда длина меньше половины длины , длины и равны и их сумма больше
половины , следовательно + больше . Значит, из отрезков , и можно
составить равнобедренный треугольник, и мы построили «треугольное» разбиение , в
котором точка не лежит в отрезке .
Другой способ выбора точек и для . За возьмём середину , а за – середину
. Тогда длины и равны и их сумма больше половины и больше ,
следовательно, из отрезков , и можно составить равнобедренный треугольник, и
мы построили «треугольное» разбиение , в котором точка не лежит в отрезке .
Доказательство того, что середина всегда лежит внутри
Доказательство того, все остальные точки не всегда лежит внутри
Если строится пример, когда совпадает с или , скажем, , а -середина : снимаем , так как в условии должна быть внутренней точкой отрезка