Всесиб 2024, 11 класс, задача 4
( баллов) Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону и продолжение стороны за точку в точках и соответственно (как показано на рисунке). Доказать, что центр описанной окружности треугольника лежит на описанной окружности треугольника .
Доказательство 1. Обозначим за точку пересечения описанной окружности треугольника и стороны , за - центр описанной окружности треугольника . Параллельные хорды и высекают на окружности равные хорды и , поэтому . Из равенства углов , и следует, что . Тогда треугольник равнобедренный с вершиной , а углы при вершинах и равны минус половина угла .
С другой стороны, вписанный в окружность угол равен половине угла , поэтому центральный угол этой окружности равен углу . В равнобедренном треугольнике угол равен углу , следовательно, точки , и лежат на одной прямой. Ввиду равенства углов и углу , центр описанной окружности треугольника лежит на описанной окружности треугольника , совпадающей по построению с описанной окружностью треугольника , что и требовалось доказать.
Доказательство 2. Докажем равенство треугольников и . Как в первом решении, замечаем, что биссектриса угла отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник , поэтому . Отрезки и равны как радиусы описанной окружности треугольника . Наконец, углы и равны плюс половина угла . Следовательно, треугольники и равны по паре сторон , и углу между ними. Тогда в них равны соответствующие углы и , откуда следует вписанность четырёхугольника . Последнее означает, что точка лежит на описанной окружности треугольника .
Отмечена точка
Замечено равенство и
Доказано равенство
Найден угол
Замечена вертикальность углов и и расположение точек , и на одной прямой
Ввиду равенства углов и углу , центр описанной окружности треугольника лежит на описанной окружности треугольника
Во втором решении доказано равенство треугольников и