Всесиб 2026, 11 класс, задача 3

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник .

1. Пусть сначала - остроугольный, обозначим за точку пересечения его высот, в этом случае лежит внутри треугольника. Хорошо известно, что угол, скажем, равен , поэтому точка, симметричная относительно стороны , лежит на описанной окружности треугольника . Отсюда следует, что окружность, симметричная относительно , является описанной окружностью треугольника (Достаточно широко известный факт, за его недоказательство в решении снимаем всего балл). Аналогично рассуждая для сторон и , получим, что описанные окружности треугольников , и получаются из симметрией относительно сторон , и соответственно и имеют одинаковые радиусы описанных окружностей, равные радиусу описанной окружности треугольника , что даёт требуемое в условии разбиение в случае остроугольного . Заметим, что в случае остроугольного треугольника его не равнобедренность неважна. Она существенна только для прямо- и тупоугольного треугольников.

2. Пусть - тупоугольный не равнобедренный, считаем тупым угол и, без ограничения общности, что угол больше угла . Восстановим серединный перпендикуляр к стороне , пусть - точка его пересечения со стороной , треугольник - равнобедренный. Рассмотрим описанную окружность треугольника , угол между её касательной в точке и хордой равен углу и больше угла , равного . Кроме того, угол острый и поэтому меньше тупого угла , поэтому вершина лежит вне описанной окружности треугольника . Следовательно, эта окружность пересекает сторону в некоторой внутренней точке , отличной от и . Четырёхугольник вписанный, поэтому описанная окружность треугольника является и описанной окружностью треугольника . Осталось заметить, что в силу равнобедренности треугольника радиусы описанных окружностей треугольников и равны: . Таким образом, треугольники , и образуют требуемое в условии разбиение для тупоугольного треугольника . Есть ещё один подходящий вариант расположения точки на стороне - когда угол равен углу , а не , как в рассмотренной выше конструкции, тогда радиусы описанных окружностей треугольников и равны: . Рассуждение пункта проходит и в остроугольном неравнобедренном треугольнике, если считать величины углов в порядке по возрастанию , поэтому конструкция пункта является универсальной для любого не равнобедренного треугольника.

3. Есть ещё один способ искомого разбиения. Снова считаем, что величины углов в порядке идут по возрастанию . Отметим на стороне точку такую, что , треугольник - равнобедренный. На отрезке отметим точку такую, что . Тогда радиусы описанных окружностей треугольников , и равны: .