Всесиб 2022, 11 класс, задача 4
( баллов) Пусть - точка пересечения высот остроугольного треугольника , точка - середина стороны . На стороне выбрана точка такая, что прямая делит отрезок пополам. Доказать, что отрезки и перпендикулярны.
Доказательство. Обозначим точку пересечения отрезков и за . Отметим на луче точку такую, что является серединой отрезка . Диагонали и четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому он является параллелограммом, его стороны и параллельны, и величина угла равна величине угла , то есть . Величина угла равна . В треугольнике величины углов и тоже равны и , следовательно, треугольники и подобны. Их соответствующие стороны и перпендикулярны, а отрезки и являются медианами этих треугольников, проведёнными к соответствующим сторонам, поэтому тоже перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Доказано подобие треугольников и