Всесиб 2024, 11 класс, задача 3

( баллов) Пусть длины сторон треугольника являются натуральными числами , и одна из его высот равна сумме двух других. Доказать, что число является точным квадратом (натурального числа).

Ответ

Доказательство. Запишем площадь треугольника тремя способами: , откуда , , . Если, например, , то , то есть . Тогда , значит, является точным квадратом.

Получено равенство

Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2026, 10 класс, задача 4

(7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC обозначим за I центр вписанной в него окружности, а за P - точку пересечения прямой, зеркально симметричной прямой AB относительно биссектрисы CI и прямой, зеркально симметричной прямой BC относительно биссектрисы AI. Докажите, что PI перпендикулярна сторо

Очень сложная

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2025, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Найти все тройки натуральных чисел a, b, c таких, что числа ab+1, ac+1, bc+1 являются факториалами некоторых натуральных чисел. Числа в тройках могут совпадать. Напоминаем, что факториалом n! натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел

Всесиб 2021, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Пусть m

Очень сложная

Теория чисел

Всесиб 2023, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Внутри остроугольного треугольника ABC выбрана точка P такая, что углы PAC и PBC равны. Пусть M - середина стороны AB, а точки K и L - основания перпендикуляров, опущенных из P на стороны AC и BC соответственно. Докажите, что длины отрезков MK и ML равны.

Очень сложная

Геометрия

Планиметрия