Всесиб 2024, 11 класс, задача 3

Очень сложная

Источник:

Всесибирская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2024, 11 класс

( баллов) Пусть длины сторон треугольника являются натуральными числами , и одна из его высот равна сумме двух других. Доказать, что число является точным квадратом (натурального числа).

Ответ

Доказательство. Запишем площадь треугольника тремя способами: , откуда , , . Если, например, , то , то есть . Тогда , значит, является точным квадратом.

Получено равенство

Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2023, 10 класс, задача 1

(7 баллов) Найдите все пары натуральных чисел xge2, yge2 такие, что остаток от деления числа 3x на y равен 1, остаток от деления числа 3y на x равен 1 и остаток от деления числа xy на 3 тоже равен 1.

Очень сложная

Теория чисел

Всесиб 2022, 11 класс, задача 1

(7 баллов) Десятичная запись натурального числа N содержит каждую цифру от 0 до 9 ровно один раз. Обозначим через A сумму пяти двузначных чисел, составленных из первой и второй, третьей и четвёртой,..., девятой и десятой цифр N, а через B - сумму четырёх двузначных чисел, составленных из второй и тр

Очень сложная

Теория чисел

Всесиб 2023, 11 класс, задача 1

(7 баллов) В треугольнике ABC биссектрисы углов BAC и BCA пересекают стороны BC и AB в точках K и P соответственно. Известно, что длина стороны AC равна сумме длин отрезков AP и CK. Найдите величину угла ABC.

Очень сложная

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2026, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Множество X состоит из десяти различных натуральных чисел таких, что для произвольного k=2,ldots,10 сумма любых k из этих чисел делится на k. Найти минимальное значение, которое может принимать максимальное из этих чисел.

Очень сложная

Алгебра

Теория чисел