Всесиб 2024, 9 класс, задача 1
( баллов) Пусть - корни квадратного многочлена со старшим коэффициентом , а - корни квадратного многочлена со старшим коэффициентом . Доказать, что .
Ответ
Доказательство 1. Ввиду того, что - корни квадратного многочлена , можно записать . Аналогично . Тогда , что и требовалось доказать.
Доказательство 2. Обозначим , , тогда , , , . Следовательно, и . Раскрывая скобки и пользуясь формулами Виета, получаем в обоих случаях одно и то же выражение , симметричное относительно замены , .