Всесиб 2024, 10 класс, задача 4
( баллов) Из шести пар братьев нужно составить три команды по человека так, чтобы ни в одной команде не было никаких двух братьев. Сколькими различными способами это можно сделать? Спортсмены из разных пар не являются братьями.
Ответ
Ответ. .
Решение 1. Занумеруем пары числами от до , а братьев в каждой паре цифрами и . Для каждого распределения братьев по командам назовём первой командой ту, в которой оказался первый брат из первой пары, второй - команду, в которой оказался второй брат из первой пары, и третьей - оставшуюся. Количество способов набора третьей команды равна числу способов выбора четырёх элементов в четырёх разных парах из пяти, что равно . После этого у нас останутся свободными одна полная пара братьев с уже определённым предыдущим шагом номером, и четыре одиночки. Из них нам осталось добрать по три человека в первую и вторую команды, где уже есть по одному брату из первой пары. Распределить братьев из первой пары по двум командам можно двумя способами. Осталось набрать двух человек в первую команду, для этого есть способов выбора двух из оставшихся четырёх одиночек. Окончательно, используя принцип умножения, получаем .
Решение 2. Будем набирать команды, заранее учитывая, что один и тот же комплект из трёх команд может быть составлен из трёх одинаковых по составу четвёрок спортсменов, которым шестью разными способами присвоены номера от до . Первую четвёрку можно набрать способами. При выборе второй четвёрки мы выбираем двух братьев из четырёх оставшихся одиночников и ещё двух из двух полных пар, что даёт способа. Осталось поделить произведение и на , получим ответ: .