Всесиб 2026, 9 класс, задача 2
( баллов) В равнобедренной трапеции с основаниями точка - основание перпендикуляра из вершины на основание , а - середина диагонали . Докажите, что прямая параллельна диагонали .
Доказательство. Отметим на основании точку такую, что . Отрезки и равны и параллельны, поэтому четырёхугольник является параллелограммом, следовательно, точка - середина его диагонали , совпадает с серединой его второй диагонали . Отрезки и равны, как противоположные стороны параллелограмма , поэтому треугольник равнобедренный, следовательно его высота является и его медианой, значит, точка - середина отрезка . Следовательно, отрезок - средняя линия треугольника , поэтому он параллелен его стороне , что и требовалось доказать.
Идея построения точки
Доказано, что совпадает с серединой
Доказано, что - середина отрезка
Доказано, что - средняя линия треугольника