Всесиб 2025, 9 класс, задача 2

Сложная
Геометрия
Планиметрия
Источник:
Всесибирская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2025, 9 класс

( баллов) На стороне квадрата вовнутрь него построен равносторонний треугольник , а на стороне вовне квадрата - равносторонний треугольник . Доказать, что точки , и лежат на одной прямой.

Доказательство. Достаточно доказать, что сумма величин углов , и , прилегающих к точке , равна . Очевидно, что величина угла при вершине равностороннего треугольника равна . Треугольник равнобедренный с равными сторонами и углом при вершине , равным , поэтому величина угла при его основании равна . Треугольник тоже равнобедренный с равными сторонами и углом при вершине , равным сумме величин углов и , то есть . Поэтому величина угла при его основании равна . В итоге сумма величин углов , и , прилегающих к точке , равна , что и требовалось доказать.

1

Идея, что достаточно доказать, что сумма величин углов , и , прилегающих к точке , равна

1
2

Доказано, что величина угла при вершине равностороннего треугольника равна

1
3

Доказано, что величина угла равна

2
4

Доказано, что величина угла равна

3
Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2023, 9 класс, задача 3

(7 баллов) Два равносторонних треугольника ABC и CDE расположены на плоскости так, что их единственной общей точкой является вершина C. Пусть точки F, G и H являются серединами отрезков BC, CD и AE соответственно. Докажите, что треугольник FGH тоже является равносторонним. Длины сторон треугольников
Сложная
Геометрия
Планиметрия

Всесиб 2026, 9 класс, задача 2

(7 баллов) В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD>BC точка E - основание перпендикуляра из вершины B на основание AD, а M - середина диагонали BD. Докажите, что прямая EM параллельна диагонали AC.
Сложная
Геометрия
Планиметрия

Всесиб 2024, 9 класс, задача 3

(7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC обозначим за P основание перпендикуляра, опущенного из вершины C на биссектрису BH угла ABC. Доказать, что площадь треугольника ABP равна половине площади треугольника ABC. Рисунок к задаче 9.3
Сложная
Геометрия
Планиметрия

Всесиб 2021, 9 класс, задача 3

(7 баллов) Пусть P - основание высоты, опущенной из вершины A прямоугольного треугольника ABC на его гипотенузу BC, а M - середина отрезка CP. Обозначим за E точку на продолжении стороны AB за точку B такую, что AB=BE. Доказать, что прямые EP и AM перпендикулярны.
Сложная
Геометрия
Планиметрия