Всесиб 2021, 9 класс, задача 3
( баллов) Пусть - основание высоты, опущенной из вершины прямоугольного треугольника на его гипотенузу , а - середина отрезка . Обозначим за точку на продолжении стороны за точку такую, что . Доказать, что прямые и перпендикулярны.
Доказательство. Пусть - точка на катете такая, что отрезок параллелен высоте . Прямоугольные треугольники и подобны по двум прямым углам и , а также равным углам и , поэтому равны отношения их соответствующих сторон и .
Следовательно, в треугольниках и равны отношения соответствующих сторон и , прилежащих к равным углам и . Значит, треугольники и тоже подобны, а их соответствующие углы и равны.
Тогда величина угла равна величине соответствующего ему угла , а сумма углов и равна , следовательно, угол между прямыми и равен углу , то есть , что и требовалось доказать.
Доказано подобие треугольников и