Всесиб 2022, 10 класс, задача 1
( баллов) На шахматной доске на отмечены две произвольные клетки. Верно ли, что доску всегда можно разрезать по линиям сетки на две одинаковых части, каждая из которых содержит по одной отмеченной клетке?
Ответ. Да.
Решение. Сначала разделим доску двумя средними линиями сетки на квадрата на клетки. Если отмеченные клетки лежат в разных квадратах, то, разрезав доску вдоль одной из средних линий, получим требуемое разбиение. Пусть теперь обе отмеченные клетки лежат в одном квадрате на , можно считать его левым нижним. Либо номера горизонталей отмеченных клеток, либо номера их вертикалей должны различаться. В первом случае проведём в квадрате на горизонтальную линию сетки , относительно которой одна отмеченная клетка лежит ниже, а другая - выше. Затем проведём в правом верхнем квадрате на доски горизонтальную линию сетки , симметричную относительно центра доски. Разрез доски по линиям сетки вдоль ломаной разбивает доску на две части, симметричные относительно центра доски, следовательно, равные. По построению каждая из них содержит по одной отмеченной клетке. Случай, когда различаются номера вертикалей отмеченных клеток, рассматривается аналогично: здесь в качестве выступает разделяющая их вертикаль левого нижнего квадрата на , а - отрезок сетки, симметричный относительно центра.
Рассмотрен только случай, когда отмеченные клетки лежат в разных квадратах на . В случаях неочевидных разрезаний доски необходимо доказательство равенства частей. Неверный ответ и разрезания на равновеликие части не оцениваются