Всесиб 2022, 11 класс, задача 5

Доказательство 1. По условию, все числа неотрицательны и не превосходят , следует, что их попарные суммы , , не больше . Заменим в знаменателе каждой дроби левой части неравенства на соответствующую сумму, от чего каждый знаменатель не увеличится и неравенство усилится. Получим: , что и требовалось доказать.

Доказательство 2. Приведём неравенство к общему знаменателю. В правой части получим: . Слагаемые и сокращаются, получаем неравенство , эквивалентное неравенству из условия задачи. В силу симметрии можно считать, что , поэтому слагаемые и в левой части не превосходят , а остальные слагаемых не больше . Следовательно, сумма всех слагаемых левой части не больше , то есть правой части. Неравенство доказано.