Всесиб 2021, 9 класс, задача 1
( баллов) Доказать, что в любом -значном натуральном числе можно вычеркнуть одну цифру так, чтобы в получившемся -значном числе количество семёрок, стоящих на чётных (считая слева), позициях, было не больше количества семёрок, стоящих на нечётных, (считая слева), позициях.
Доказательство. Пусть количества семёрок, стоящих на нечётных (считая слева), позициях исходного и получившегося чисел равны и соответственно, а количества семёрок, стоящих на их чётных (считая слева), позициях равны и соответственно.
Пусть . В таком случае вычёркиваем последнюю, самую правую, цифру. Номера позиций каждой цифры в исходном и получившемся числах совпадают, при вычеркивании пропала цифра с чётной позиции, поэтому .
Пусть . В таком случае вычёркиваем первую, самую левую, цифру. Номера позиций каждой цифры в исходном и получившемся числах меняют чётность, при вычеркивании пропала цифра с нечётной позиции, поэтому тем более .
Верно рассмотрен только один из случаев и