Всесиб 2025, 11 класс, задача 2
( баллов) Доказать, что для всех положительных действительных чисел и выполнено неравенство: .
Доказательство 1. Перепишем уравнение в виде: . Последнее неравенство для положительных и очевидно, выполнено.
Доказательство 2. Без ограничения общности считаем, что . Обозначим в левой части неравенства и рассмотрим функцию , . Её минимум достигается при и равен . При эта функция монотонно убывает, а при - монотонно возрастает. Значение этой функции равно при , . Теперь заметим, что и функция на интервале возрастает, поэтому , что и требовалось доказать.
Доказательство 3. Воспользуемся так называемым транс-неравенством. Оно в данном случае звучит так: если и , то . Предлагается при проверке, если транс-неравенство правильно сформулировано, не требовать его доказательства, хотя оно выглядит тут совсем несложно: .
Без ограничения общности считаем, что . Теперь положим , , тогда , что и требовалось доказать.
Для доказательства : первое преобразование
Для доказательства : второе преобразование
Для доказательства : третье преобразование
Для доказательства : четвёртое преобразование
Для доказательства : полное исследование функции ,
Для доказательства : доказательство того, что значение этой функции равно при ,
Для доказательства : замечание, что и функция на интервале возрастает, поэтому
Для доказательства : верная формулировка транс-неравенства хотя бы для нужного здесь случая
Для доказательства : верное и прокомментированное его использование