Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 1
Олег выписал в строку последовательных натуральных чисел, больших . Оказалось, что -е число делится на , -е — на , а -е — на . Какое наименьшее число могло быть среди выписанных Олегом чисел?
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть — двенадцатое из выписанных чисел. Тогда при прибавлении к нему должно выйти число, делящееся на , откуда получаем уравнение с двумя целочисленными переменными. Решая его, находим, что , , . Значит,
Если к -му числу прибавить , получится -е число, которое должно делиться на . Отсюда следует, что , то есть , откуда следует, что — произвольное целое число, кратное . Значит, , а . Так как это двенадцатое число, первое число равно . Решая неравенство , находим, что минимальное значение . Соответствующее значение первого выписанного на доску числа равно .