ВсОШ 2024, 10 класс, задача 1
Пусть и — различные простые числа. Дана бесконечная убывающая арифметическая прогрессия, в которой встречается каждое из чисел , , и . Докажите, что в этой прогрессии обязательно встретятся числа и .
Ответ
Решение. Вычеркнем все нецелые числа из прогрессии, если они есть. После этого остаётся бесконечная убывающая арифметическая прогрессия из целых чисел; пусть её разность равна .
Так как делится на , число не делится на , иначе делилось бы на , что неверно. С другой стороны, делит ; поскольку , получаем, что делится на . Далее тоже делится на . Поэтому делится на , и, поскольку , число лежит в нашей прогрессии. Аналогично, лежит в этой прогрессии.