В пространстве расположен бесконечный цилиндр (т.е. геометрическое место точек, удалённых от данной прямой ell на данное расстояние R>0). Могут ли шесть прямых, содержащих рёбра некоторого тетраэдра, иметь ровно по одной общей точке с этим цилиндром? (А. Кузнецов)
Очень сложная
Стереометрия
ВсОШ 2024, 11 класс, задача 2
Тройку положительных чисел (a,b,c) назовём загадочной, если √(a2+frac1{a2c2)+2ab}+√(b2+frac1{b2a2)+2bc}+√(c2+frac1{c2b2)+2ca}=2(a+b+c). Докажите, что если тройка (a,b,c) - загадочная, то тройка (c,b,a)
Очень сложная
Алгебра
ВсОШ 2024, 11 класс, задача 3
Юрий подошёл к великой таблице майя. В таблице 200 столбцов и 2200 строк. Юрий знает, что в каждой клетке таблицы изображено солнце или луна, и любые две строки отличаются (хотя бы в одном столбце). Каждая клетка таблицы закрыта листом. Поднялся ветер и сдул некоторые листы: по два листа
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2024, 11 класс, задача 4
Четырёхугольник ABCD, в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность ω. Через вершину A проведена прямая ellaparallel BC, через вершину B - прямая ellbparallel CD, через вершину C - прямая ellcparallel DA, через вершину D - прямая elldparallel AB.
Квартал представляет собой клетчатый квадрат 10 × 10. В новогоднюю ночь внезапно впервые пошёл снег, и с тех пор каждую ночь на каждую клетку выпадало ровно по 10 см снега; снег падал только по ночам. Каждое утро дворник выбирает один ряд (строку или столбец) и сгребает весь снег оттуда на один из с
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2024, 11 класс, задача 6
Остроугольный неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность ω с центром в точке O, его высоты пересекаются в точке H. Через точку O проведена прямая, перпендикулярная AH, а через точку H - прямая, перпендикулярная AO. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами AB и AC лежат на о
Очень сложная
Планиметрия
ВсОШ 2024, 11 класс, задача 7
В стране n>100 городов и пока нет дорог. Правительство наугад определяет стоимость строительства дороги (с двусторонним движением) между каждыми двумя городами, используя по разу все суммы от 1 до n(n-1)/2 талеров (все варианты равновероятны). Мэр каждого города выбирает самую дешёвую из n-1 возможн
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2024, 11 класс, задача 8
Докажите, что существует такое c>0, что для любого нечётного простого p=2k+1 числа 10, 21, 32, ldots, kk-1 дают хотя бы csqrt p различных остатков при делении на p. (М. Туревский, И. Богданов)
Пусть p и q— различные простые числа. Дана бесконечная убывающая арифметическая прогрессия, в которой встречается каждое из чисел p23, p24, q23 и q24. Докажите, что в этой прогрессии обязательно встретятся числа p и q.
Очень сложная
Теория чисел
Прогрессии
ВсОШ 2024, 10 класс, задача 2
Дано нечётное число nge3. В клетчатом квадрате 2n × 2n закрашивают 2(n-1)2 клеток. Какое наибольшее количество трёхклеточных уголков можно гарантированно вырезать из незакрашенной клетчатой фигуры? (Г. Шарафетдинова)
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2024, 10 класс, задача 3
Дано натуральное число n. Илья задумал пару различных многочленов степени n (с вещественными коэффициентами), аналогично Саша задумал пару различных многочленов степени n. Лёня знает n; его цель - выяснить, одинаковые ли пары многочленов у Ильи и Саши. Лёня выбирает набор из k вещественных чисел x
Очень сложная
Алгебра
Функции
ВсОШ 2024, 10 класс, задача 4
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором angle A+angle D=90circ, его диагонали пересекаются в точке E. Прямая ell пересекает отрезки AB, CD, AE и ED в точках X, Y, Z и T соответственно. Известно, что AZ=CE и BE=DT. Докажите, что длина отрезка XY не больше диаметра описанной окружности
Дана прямолинейная дорога, выложенная из зелёных и красных дощечек (дорога - отрезок, разбитый на отрезки-дощечки). Цвета дощечек чередуются; первая и последняя дощечки - зелёные. Известно, что длины всех дощечек больше сантиметра и меньше метра, а также что длина каждой следующей дощечки больше пре
Очень сложная
Алгебра
ВсОШ 2024, 10 класс, задача 6
Дан параллелограмм ABCD. Точка M - середина дуги ABC окружности, описанной около треугольника ABC. На отрезке AD отмечена точка E, а на отрезке CD - точка F. Известно, что ME=MD=MF. Докажите, что точки B, M, E и F лежат на одной окружности. (А. Терёшин)
Очень сложная
Планиметрия
ВсОШ 2024, 10 класс, задача 7
Пусть даны натуральные числа x1 и x2. На прямой даны y1 белых отрезков и y2 чёрных отрезков, при этом y1ge x1 и y2ge x2. Известно, что никакие два отрезка одного цвета не пересекаются (даже не имеют общих концов)
Очень сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2024, 10 класс, задача 8
Дано натуральное n>2. Маша записывает по кругу n натуральных чисел. Далее Тая делает такую операцию: между каждыми двумя соседними числами a и b она пишет некоторый делитель числа a+b, больший 1; затем Тая стирает исходные числа и получает новый набор из n чисел, стоящих по кругу. Всегда ли Тая може
f(x)=Петя и Вася знают лишь натуральные числа, не превосходящие 109-4000. Петя считает хорошими числа, представимые в виде abc + ab + ac + bc, где a, b и c — натуральные числа, не меньшие 100. Вася считает хорошими числа, представимые в виде xyz - x - y - z, где x, y и z — натуральные чис
Сложная
Теория чисел
ВсОШ 2024, 9 класс, задача 2
У натурального числа ровно 50 делителей. Может ли оказаться, что никакая разность двух различных его делителей не делится на 100?
Сложная
Теория чисел
ВсОШ 2024, 9 класс, задача 3
Двум мальчикам выдали по мешку картошки, в каждом мешке по 150 клубней. Ребята по очереди перекладывают картошку, каждый своим очередным ходом перекладывает ненулевое количество клубней из своего мешка в чужой. При этом они должны соблюдать условие новой возможности: на каждом ходе мальчик должен пе
Сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2024, 9 класс, задача 4
Дан вписанный четырёхугольник ABCD, в котором angle A+angle D=90circ. Его диагонали пересекаются в точке E. Прямая ell пересекает отрезки AB, CD, AE и ED в точках X, Y, Z и T соответственно. Известно, что AZ=CE и BE=DT. Докажите, что длина отрезка XY равна диаметру окружности, описанной о
Квартал представляет собой клетчатый квадрат 10 × 10. В новогоднюю ночь внезапно впервые пошёл снег, и с тех пор каждую ночь на каждую клетку выпадало ровно по 10 см снега; снег падал только по ночам. Каждое утро дворник выбирает один ряд (строку или столбец) и сгребает весь снег оттуда на один из с
Сложная
Комбинаторика
ВсОШ 2024, 9 класс, задача 6
Высоты остроугольного треугольника ABC, в котором AB
Сложная
Планиметрия
ВсОШ 2024, 9 класс, задача 7
На доске написаны 8 различных квадратных трёхчленов; среди них нет двух, дающих в сумме нулевой многочлен. Оказалось, что если выбрать любые два трёхчлена g1(x), g2(x) с доски, то оставшиеся 6 трёхчленов можно обозначить как g3(x), g4(x),..., g8
Сложная
Алгебра
ВсОШ 2024, 9 класс, задача 8
1000 детей, среди которых нет двух одинакового роста, выстроились в шеренгу. Назов ем пару различных детей (a,b) хорошей, если между ними не стоит ребёнка, рост которого больше роста одного из a и b, но меньше роста другого. Какое наибольшее количество хороших пар могло образоваться? (Пары (a,b) и (
